3.1088 \(\int (e x)^m (A+B x) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=281 \[ \frac{A (e x)^{m+1} \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2} F_1\left (m+1;-\frac{5}{2},-\frac{5}{2};m+2;-\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}},-\frac{2 c x}{b+\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{e (m+1) \left (\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}}+1\right )^{5/2} \left (\frac{2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}+b}+1\right )^{5/2}}+\frac{B (e x)^{m+2} \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2} F_1\left (m+2;-\frac{5}{2},-\frac{5}{2};m+3;-\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}},-\frac{2 c x}{b+\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{e^2 (m+2) \left (\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}}+1\right )^{5/2} \left (\frac{2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}+b}+1\right )^{5/2}} \]

[Out]

(A*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*AppellF1[1 + m, -5/2, -5/2, 2 + m, (-2*
c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(e*(1 + m)*(1 +
(2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(5/2)*(1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(5
/2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*AppellF1[2 + m, -5/2, -5/2, 3 +
m, (-2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(e^2*(2
+ m)*(1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(5/2)*(1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*
a*c]))^(5/2))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.41608, antiderivative size = 281, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 3, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.12 \[ \frac{A (e x)^{m+1} \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2} F_1\left (m+1;-\frac{5}{2},-\frac{5}{2};m+2;-\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}},-\frac{2 c x}{b+\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{e (m+1) \left (\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}}+1\right )^{5/2} \left (\frac{2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}+b}+1\right )^{5/2}}+\frac{B (e x)^{m+2} \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2} F_1\left (m+2;-\frac{5}{2},-\frac{5}{2};m+3;-\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}},-\frac{2 c x}{b+\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{e^2 (m+2) \left (\frac{2 c x}{b-\sqrt{b^2-4 a c}}+1\right )^{5/2} \left (\frac{2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}+b}+1\right )^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2),x]

[Out]

(A*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*AppellF1[1 + m, -5/2, -5/2, 2 + m, (-2*
c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(e*(1 + m)*(1 +
(2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(5/2)*(1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(5
/2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*AppellF1[2 + m, -5/2, -5/2, 3 +
m, (-2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(e^2*(2
+ m)*(1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(5/2)*(1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*
a*c]))^(5/2))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 85.1877, size = 252, normalized size = 0.9 \[ \frac{A \left (e x\right )^{m + 1} \left (a + b x + c x^{2}\right )^{\frac{5}{2}} \operatorname{appellf_{1}}{\left (m + 1,- \frac{5}{2},- \frac{5}{2},m + 2,- \frac{2 c x}{b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}},- \frac{2 c x}{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} \right )}}{e \left (m + 1\right ) \left (\frac{2 c x}{b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + 1\right )^{\frac{5}{2}} \left (\frac{2 c x}{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + 1\right )^{\frac{5}{2}}} + \frac{B \left (e x\right )^{m + 2} \left (a + b x + c x^{2}\right )^{\frac{5}{2}} \operatorname{appellf_{1}}{\left (m + 2,- \frac{5}{2},- \frac{5}{2},m + 3,- \frac{2 c x}{b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}},- \frac{2 c x}{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} \right )}}{e^{2} \left (m + 2\right ) \left (\frac{2 c x}{b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + 1\right )^{\frac{5}{2}} \left (\frac{2 c x}{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + 1\right )^{\frac{5}{2}}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((e*x)**m*(B*x+A)*(c*x**2+b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

A*(e*x)**(m + 1)*(a + b*x + c*x**2)**(5/2)*appellf1(m + 1, -5/2, -5/2, m + 2, -2
*c*x/(b - sqrt(-4*a*c + b**2)), -2*c*x/(b + sqrt(-4*a*c + b**2)))/(e*(m + 1)*(2*
c*x/(b - sqrt(-4*a*c + b**2)) + 1)**(5/2)*(2*c*x/(b + sqrt(-4*a*c + b**2)) + 1)*
*(5/2)) + B*(e*x)**(m + 2)*(a + b*x + c*x**2)**(5/2)*appellf1(m + 2, -5/2, -5/2,
m + 3, -2*c*x/(b - sqrt(-4*a*c + b**2)), -2*c*x/(b + sqrt(-4*a*c + b**2)))/(e**
2*(m + 2)*(2*c*x/(b - sqrt(-4*a*c + b**2)) + 1)**(5/2)*(2*c*x/(b + sqrt(-4*a*c +
b**2)) + 1)**(5/2))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 19.3043, size = 4573, normalized size = 16.27 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]  Integrate[(e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2),x]

[Out]

(a^2*A*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(2 + m)*x*(e*x)^m*(b - Sq
rt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*App
ellF1[1 + m, -1/2, -1/2, 2 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b +
Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(4*c^2*(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(2 + m)*AppellF
1[1 + m, -1/2, -1/2, 2 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[2 + m, -1/2, 1/2, 3 + m, (-
2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^
2 - 4*a*c])*x*AppellF1[2 + m, 1/2, -1/2, 3 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])
, (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])) + (a*A*b*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c])*(3 + m)*x^2*(e*x)^m*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2
- 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*AppellF1[2 + m, -1/2, -1/2, 3 + m, (-2*c*
x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c^2*(2 + m)*(a
+ b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(3 + m)*AppellF1[2 + m, -1/2, -1/2, 3 + m, (-2*c*x)/(
b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*
c])*x*AppellF1[3 + m, -1/2, 1/2, 4 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x
)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[3 + m, 1/2, -1/
2, 4 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])]))
+ (a^2*B*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(3 + m)*x^2*(e*x)^m*(b
- Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2
*AppellF1[2 + m, -1/2, -1/2, 3 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-
b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(4*c^2*(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(3 + m)*App
ellF1[2 + m, -1/2, -1/2, 3 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b +
Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[3 + m, -1/2, 1/2, 4 + m
, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqr
t[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[3 + m, 1/2, -1/2, 4 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a
*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])) + (A*b^2*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b +
Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(4 + m)*x^3*(e*x)^m*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*AppellF1[3 + m, -1/2, -1/2, 4 + m, (-
2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(4*c^2*(3 + m
)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(4 + m)*AppellF1[3 + m, -1/2, -1/2, 4 + m, (-2*c*
x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 -
4*a*c])*x*AppellF1[4 + m, -1/2, 1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2
*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[4 + m, 1/2,
-1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])
])) + (a*b*B*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(4 + m)*x^3*(e*x)^m
*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x
))^2*AppellF1[3 + m, -1/2, -1/2, 4 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x
)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c^2*(3 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(4 + m)
*AppellF1[3 + m, -1/2, -1/2, 4 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-
b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[4 + m, -1/2, 1/2, 5
+ m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b -
Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[4 + m, 1/2, -1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 -
4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])) + (a*A*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b
+ Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(4 + m)*x^3*(e*x)^m*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sq
rt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*AppellF1[3 + m, -1/2, -1/2, 4 + m,
(-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c*(3 + m
)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(4 + m)*AppellF1[3 + m, -1/2, -1/2, 4 + m, (-2*c*
x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 -
4*a*c])*x*AppellF1[4 + m, -1/2, 1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2
*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[4 + m, 1/2,
-1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])
])) + (b^2*B*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(5 + m)*x^4*(e*x)^m
*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x
))^2*AppellF1[4 + m, -1/2, -1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x
)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(4*c^2*(4 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(5 + m)
*AppellF1[4 + m, -1/2, -1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-
b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[5 + m, -1/2, 1/2, 6
+ m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b -
Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[5 + m, 1/2, -1/2, 6 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 -
4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])) + (A*b*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b
+ Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(5 + m)*x^4*(e*x)^m*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sq
rt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*AppellF1[4 + m, -1/2, -1/2, 5 + m,
(-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c*(4 + m
)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(5 + m)*AppellF1[4 + m, -1/2, -1/2, 5 + m, (-2*c*
x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 -
4*a*c])*x*AppellF1[5 + m, -1/2, 1/2, 6 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2
*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[5 + m, 1/2,
-1/2, 6 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])
])) + (a*B*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(5 + m)*x^4*(e*x)^m*(
b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))
^2*AppellF1[4 + m, -1/2, -1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/
(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c*(4 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(5 + m)*App
ellF1[4 + m, -1/2, -1/2, 5 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b +
Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[5 + m, -1/2, 1/2, 6 + m
, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqr
t[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[5 + m, 1/2, -1/2, 6 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a
*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])) + (A*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c])*(6 + m)*x^5*(e*x)^m*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2
- 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*AppellF1[5 + m, -1/2, -1/2, 6 + m, (-2*c*
x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(4*(5 + m)*(a + b
*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(6 + m)*AppellF1[5 + m, -1/2, -1/2, 6 + m, (-2*c*x)/(b +
Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*
x*AppellF1[6 + m, -1/2, 1/2, 7 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-
b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[6 + m, 1/2, -1/2, 7
+ m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])) + (b
*B*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(6 + m)*x^5*(e*x)^m*(b - Sqrt
[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*Appel
lF1[5 + m, -1/2, -1/2, 6 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sq
rt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c*(5 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(4*a*(6 + m)*AppellF1[5
+ m, -1/2, -1/2, 6 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2
- 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[6 + m, -1/2, 1/2, 7 + m, (-2*c*
x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^2 -
4*a*c])*x*AppellF1[6 + m, 1/2, -1/2, 7 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2
*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])) + (B*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(b + Sqrt[b^2 - 4
*a*c])*(7 + m)*x^6*(e*x)^m*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c
] + 2*c*x)*(a + x*(b + c*x))^2*AppellF1[6 + m, -1/2, -1/2, 7 + m, (-2*c*x)/(b +
Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(4*(6 + m)*(a + b*x + c*x
^2)^(5/2)*(4*a*(7 + m)*AppellF1[6 + m, -1/2, -1/2, 7 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2
- 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*Appell
F1[7 + m, -1/2, 1/2, 8 + m, (-2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c])] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*x*AppellF1[7 + m, 1/2, -1/2, 8 + m, (-
2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*c*x)/(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])]))

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.197, size = 0, normalized size = 0. \[ \int \left ( ex \right ) ^{m} \left ( Bx+A \right ) \left ( c{x}^{2}+bx+a \right ) ^{{\frac{5}{2}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((e*x)^m*(B*x+A)*(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x)

[Out]

int((e*x)^m*(B*x+A)*(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\left (c x^{2} + b x + a\right )}^{\frac{5}{2}}{\left (B x + A\right )} \left (e x\right )^{m}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((c*x^2 + b*x + a)^(5/2)*(B*x + A)*(e*x)^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((c*x^2 + b*x + a)^(5/2)*(B*x + A)*(e*x)^m, x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left ({\left (B c^{2} x^{5} +{\left (2 \, B b c + A c^{2}\right )} x^{4} +{\left (B b^{2} + 2 \,{\left (B a + A b\right )} c\right )} x^{3} + A a^{2} +{\left (2 \, B a b + A b^{2} + 2 \, A a c\right )} x^{2} +{\left (B a^{2} + 2 \, A a b\right )} x\right )} \sqrt{c x^{2} + b x + a} \left (e x\right )^{m}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((c*x^2 + b*x + a)^(5/2)*(B*x + A)*(e*x)^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*c^2*x^5 + (2*B*b*c + A*c^2)*x^4 + (B*b^2 + 2*(B*a + A*b)*c)*x^3 + A*
a^2 + (2*B*a*b + A*b^2 + 2*A*a*c)*x^2 + (B*a^2 + 2*A*a*b)*x)*sqrt(c*x^2 + b*x +
a)*(e*x)^m, x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((e*x)**m*(B*x+A)*(c*x**2+b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\left (c x^{2} + b x + a\right )}^{\frac{5}{2}}{\left (B x + A\right )} \left (e x\right )^{m}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((c*x^2 + b*x + a)^(5/2)*(B*x + A)*(e*x)^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((c*x^2 + b*x + a)^(5/2)*(B*x + A)*(e*x)^m, x)